DS8 - 2020 [mail]

Pouvez-vous m’expliquer la question b) de l’exercice 3 du ds8 s’il vous plait.

On doit montrer que Im p = Ker (id-p) l'égalité de deux espaces vectoriels.
On démontre par double inclusion en passant aux éléments.

Si on prend un élément v dans Im p il sécrit v=p(u) avec u un antécédent.
Puis on calcul (id-p)(v)=v-p(v) = p(u)-p(p(u))=0 car p=p^2. Ainsi v est dans le noyau Ker(id-p)

Réciproquement si on prend un élément v dans Ker(id-p) alors 0=(id-p)(v)=v-p(v)
Donc v=p(v) est l'image de lui-même donc en particulier v est dans Im p

La deuxième se démontre de la même manière ou en échangeant les rôles de p et q.